Gravitación Cuántica

Jorge Gabriel Alés Corona

1. - Introducción. 

     La siguiente expresión pretende ser equivalente a la de la gravitación de Newton en el borde de una distribución esférica de energía interior a una superficie cerrada equipotencial en equilibrio gravitatorio. En esta expresión r es la distancia desde el punto considerado al centro de masas de la distribución de energía: 

(1)

      En ella R_h es el radio de Hubble y ρ(R_h) es la densidad media del universo. Si consideramos que ésta coincide con la densidad crítica es fácil concluir que en efecto esta expresión coincide con la de la gravitación de Newton para una distribución uniforme esférica de energía donde ρ( r ) = 3 M / 4 π r³ interior a la esfera equipotencial de radio r. V, en general, quedaría como V(m)= -(4/3) m G π r² ρ( r ). 

      Una peculiaridad de (1) es que en el borde de cualquier otra distribución geométrica de energía interior a una superficie cerrada equipotencial en equilibrio gravitatorio, el resultado puede ser diferente al que se obtendría con la ley de Newton de la gravitación. En particular con una distribución, por ejemplo, lenticular como la que suelen tener las galaxias espirales en equilibrio entre la fuerza gravitatoria y la fuerza centrífuga. En este caso para que V(m) fuera constante bastaría suponer r constante supuesta una densidad constante, es decir, podríamos aplicarlo a la circunferencia que forman dos conos opuestos unidos por su base con radio r y altura h cada uno. Esta situación es bastante aproximada a la que realmente se da en las galaxias observadas. El volumen de la figura geométrica lenticular sería (2/3) π r² h. Llamando k a la relación entre r y h, k = r/h. Obtenemos para g la siguiente expresión: 

g = - 2 k G M / r²        (2) 

      Observamos que es 2k veces superior a la que la ley de Newton predice. Este resultado justificaría las velocidades de rotación observadas en estas galaxias sin necesidad de introducir el concepto materia oscura.  

2. – Nuevo paradigma. 

      Periódicamente se habla del nuevo paradigma necesario para poder resolver las contradicciones entre la Teoría General de la Relatividad y la Mecánica Cuántica. Quizás el nuevo paradigma sea simplemente aceptar que la gravitación es un fenómeno cuántico macroscópico, es decir, una manifestación evidente de la naturaleza cuántica del Universo: Los sucesos tienden a producirse en los lugares de mayor probabilidad.  

      La gravitación podría no ser un fenómeno que pueda ser descrito con el concepto “campo cuántico”. En tal caso sería inútil buscar una teoría del campo cuántico gravitatorio.  

3.- Densidad crítica. 

      En (1) hemos considerado que ρ(R_h) es igual al concepto densidad crítica del universo. Sin embargo la validez de la expresión (1) precisamente deshace dicho concepto. Imaginemos que la densidad del universo es 10 veces la densidad crítica; en tal caso es fácilmente comprobable que la gravedad indicada por (1) sería 10 veces menor o que la nueva G valdría 10 veces menos que la antigua G. Es decir, la expresión (1) hace innecesaria la constante G y en consecuencia también la suposición de que el universo se encuentra con densidad crítica. El universo puede tener cualquier densidad y siempre será la densidad crítica. G es una constante que depende de la densidad del universo.

     Es necesario ahora deducir la expresión (1), y para ello bastará una hipótesis basada en la mecánica cuántica. 
 

4. – Eter cuántico. 

     Marcelo A. Crotti en su artículo [1] propone un nuevo modelo de universo que sirve para describir el comportamiento de aquello que conocemos como materia, ondas y vacío. De acuerdo con este modelo no resulta necesario realizar suposiciones especiales para cada uno de los constituyentes básicos del Universo. Sólo es necesario postular un medio primordial donde ocurren las interacciones que conducen a la formación de ondas, partículas, etc.  

     Los constituyentes básicos de este medio primordial se postulan como osciladores unidimensionales similares a los que postula la teoría de las Supercuerdas o "Superstrings". La diferencia principal con la teoría de las Supercuerdas radica en que, en ese nuevo modelo, los osciladores no sólo se consideran como los constituyentes básicos de las partículas, sino de todo el Universo.  

     Tal como se describe en ese artículo, de acuerdo con este nuevo enfoque, los osciladores se postulan como llenando (y definiendo) todo el Universo, mientras que las partículas serían sólo una manifestación de la interacción coordinada de los osciladores unidimensionales.  

     Para entender los fundamentos de este desarrollo, es posible realizar una analogía con las olas en el agua y con los tornados en el aire. Ambos fenómenos son sólo el resultado del movimiento coordinado de moléculas de agua y de aire. Pese a su poder destructor y a que parezcan comportarse como algo más que un grupo de moléculas con movimientos coordinados, ni los tornados, ni las olas marinas están constituidos por alguna clase novedosa de material. 

     Como se verá, este nuevo enfoque resulta compatible con las fórmulas de la Relatividad Especial, pero evita las clásicas paradojas de esta última. Los siguientes son los puntos principales del desarrollo presentado: 

     - El modelo desarrollado es compatible con la teoría del electromagnetismo y con la Relatividad Especial, dado que conduce a las mismas fórmulas de cálculo para todas las mediciones convencionales.  

     - De acuerdo con este nuevo modelo, para sistemas en movimiento relativo, los cambios en tiempos y longitudes son reales, del mismo modo que lo es la transformación de masa en energía.  

     - En este modelo los observadores "en movimiento" y "en reposo" coinciden en la apreciación de que los relojes marchan más lentamente en los sistemas en movimiento. Esto no implica la existencia de un sistema absoluto de referencia pues los sistemas sólo están en movimiento con respecto al marco que define localmente el espacio. Este concepto es análogo al involucrado en el movimiento de olas y corrientes con respecto a la enorme masa de agua oceánica, de la que forman parte. No existen moléculas de agua que puedan reclamar el derecho de considerarse en "reposo absoluto". Sin embargo la velocidad de los fenómenos de transporte sólo cobra significado cuando se la estudia con respecto a la masa local "estacionaria" de agua 

Un desarrollo forma de dicho artículo puede leerse en este sitio:  

http://www.geocities.com/macpetrol/Paper_esp.html 
 

5. – Gravitación cuántica 

      En el artículo de Marcelo Crotti se puede comprobar cómo los resultados de la Relatividad Especial surgen de forma natural a partir de tal concepción del universo. En este artículo veremos como al considerar los componentes primordiales del Universo no como osciladores unidimensionales sino como osciladores tridimensionales pueden obtenerse los mismos resultados de la Teoría General de la Relatividad.

      Consideremos el siguiente sistema. Conjunto de N² osciladores tridimensionales elementales, todos y cada uno con una longitud de onda de 2 R_h y momento angular respecto al sistema de ћ / 2, donde R_h = N l_p y l_p es la longitud de Planck [ (ћ G / c³)^1/2 ]. La energía de cada oscilador será E₀=m₀ c², donde m₀ = ћ / 2 c R_h. En consecuencia la densidad de este sistema será ρ = N² m₀ / (4/3) π R_h³, es decir, ρ = 3 c² / 8 π G R_h². Este sistema puede ser descrito por la función de onda Ψ₁(r, t₁). La función matriz de densidad de probabilidad basada en esta nueva función de onda podría calcularse:  

ρ_p(r,t₁) = |Ψ₁(r, t₁)|²     (3) 

      Las partículas observables en nuestro mundo serían acumulaciones de densidad de probabilidad en forma de "soliton". Serían fluctuaciones estables de esta función densidad de probabilidad. Su comportamiento sobre la superficie de ese “mar” estaría gobernado por la función de onda Ψ₂(r, t₂), esta función sería identificable con la clásica función de onda de Schrödinger. El parámetro tiempo t₂ es independiente del parámetro t₁, esto está de acuerdo con la independencia entre los fenómenos gravitatorios y los electromagnéticos. La función de onda completa de una partícula sería Ψ (r, t₁, t₂) y tendría carácter vectorial, es decir, sería de la forma siguiente: 

Ψ (r,t₁,t₂) = C + iΨ₁(r, t₁) + jΨ₂(r, t₂)   (4) 

     En la expresión anterior tanto i como j son unidades imaginarias.  

      Podríamos identificar la gravitación con el desplazamiento de los osciladores elementales hacia lugares de mayor densidad de probabilidad, igual que la corriente del río arrastra las ondas producida por la caída de una piedra, las partículas serían arrastradas por esta corriente de probabilidad. 

       Con objeto de calcular el valor de |Ψ₁(r, t₁)|² podemos considerar que todas las manifestaciones energéticas están en última instancia conformadas por los osciladores elementales indicados previamente. Por consiguiente, una buena aproximación al valor anterior, definido en el volumen generado por una superficie cerrada, sería el cociente entre la energía total en el interior de dicho volumen y la energía total del universo, es decir m / M. A partir de la densidad de energía media en el interior del volumen sería de la forma: ρ( r ) v / ρ( R_h ) V. Podemos aproximar tanto v como V a r³ y R_h³ respectivamente, obtendríamos la probabilidad en el interior de la superficie cerrada indicada previamente: 

|Ψ₁(r, t₁)|² = ρ(r) r³ / ρ(R_h) R_h³    (5) 

     Esta expresión sería válida en ausencia de sucesos. Dado que en efecto la partícula m es detectada, es decir, un suceso observable tiene lugar a la distancia r, es necesario modificar esta distribución de probabilidad aplicando la definición de probabilidad condicionada. Para calcular la probabilidad condicionada al hecho de que se detecta la partícula a la distancia r, es necesario, aplicando la definición de probabilidad condicionada, dividir por la probabilidad de que esté a una distancia máxima r, es decir, dividir por r/R_h. La expresión (5) quedaría de la siguiente forma: 

|Ψ₁(r, t₁)|² = ρ(r) r² / ρ(R_h) R_h²    (6) 

      La matriz densidad de probabilidad basada en la función de onda completa, teniendo en cuenta los tiempos t₁ y t₂, podemos calcularla a partir de la función de onda (4): 

ρ_p(r,t₁,t₂) = C² + |Ψ₁(r, t₁)|² + |Ψ₂(r, t₂)|²   (7) 

      Podemos calcular ahora la energía cinética promedio de una partícula situada en la superficie del volumen considerado, E_c. La energía cinética sobre el tiempo t₂ le llamaremos K. Para calcular la energía cinética sobre el tiempo t₁, E₁, podemos simplificar considerando que el término de la función de onda dependiente del tiempo es de la forma e ^{-i E t / ћ}, donde E = 1/2 m₀ c² y m = n m₀, donde n es el número de osciladores elementales con conforman la partícula m. Aplicando el operador hamiltoniano se obtiene: 

E₁ = 1/2 m c² ρ(r) r² / ρ(R_h) R_h²   (8) 

      Obtenemos para E_c la siguiente expresión en la que se ha considerado que la energía perteneciente al término C² de la matriz densidad de probabilidad corresponde a la energía en reposo: 

E_c = K + 1/2 m c²  ρ(r) r² / ρ(R_h) R_h²   (9) 

      Y finalmente obtenemos para K la expresión siguiente: 

K = E_c - 1/2 m c²  ρ(r) r² / ρ(R_h) R_h²   (10) 

     Esta expresión se puede comparar con la de la energía mecánica no relativista para una distribución esférica donde r(r) es M / (4/3) π r³ y r(R_h) es 3 c² / 8 π G R_h², obteniendo:  

E_m = 1/2 m v² - G M m / r    (11) 

     Esta expresión es la ya conocida de la energía mecánica clásica y nos permite identificar dicha energía mecánica con la energía cinética sobre el tiempo t₂.  

     La expresión (9) permite descomponer en el espacio bidimensional de tiempos (t₁,t₂) la velocidad en dos componentes, v² = v₁² + v₂². Siguiendo un razonamiento análogo al realizado por Marcelo Crotti en [1], llegamos a encontrar el nuevo factor de transformación relativista γ: 

γ = ( 1 – v₁² / c² – v₂² / c² ) ^½    (12) 

      Donde v₁² = 2 G M / r en una distribución esférica de energía M. Si aplicamos la expresión (12) al fenómeno de la precesión del perihelio de mercurio o a la desviación de los rayos de luz por el sol se obtienen los mismos resultados que los obtenidos con la TGR de Einstein. Por ejemplo, en el caso de la precesión del perihelio de mercurio y considerando una órbita circular podemos decir que v₂² / r = G M / r² y en consecuencia (12) se puede transformar en γ = (1 - 3 G M / r c²)^1/2. Podemos aplicar esta expresión al cálculo de la dilatación temporal y a la contracción espacial sufridas por Mercurio a lo largo de la órbita; llamaré t_m el tiempo medido en Mercurio y t_t el tiempo medido por el observador, sustituyendo valores, obtenemos: 

t_m = t_t / γ     

Δ t = t_m - t_t = t_t / γ - t_t 

La contracción sufrida por la órbita de mercurio será: 

S_m = S_t γ 

Δ S = S_t - S_m = S_t - S_t γ 

El efecto de ambas operaciones es acumulativo, el efecto total Δ L será: 

Δ L = v₂ Δ t + Δ S 

Dado que v₂ t_t = S_t, obtenemos: 

Δ L = S (1 - γ²)/ γ = 4,823538 10-7 rad. 

Esta precesión es la correspondiente a una órbita, dado que Mercurio da 415 órbitas cada siglo la precesión total será: 

Δφ = 2,0018 10-4 rad. 

El mismo valor que el obtenido con la expresión de la TGR. 
 
 

6. – Conclusión 

     La hipótesis expuesta en este artículo puede permitir abrir un camino al tratamiento cuántico de la gravitación de una manera natural, dando un origen típicamente cuántico a la gravitación y resolviendo algunos misterios de la cosmología moderna. Adicionalmente, la expresión de densidad de probabilidad (6) elimina el problema de las singularidades de la Teoría General de la Relatividad; la densidad de energía en el volumen considerado no podría crecer indefinidamente dado que la probabilidad de detectar una partícula no puede ser mayor que 1. La mayor densidad posible es la densidad de la partícula media masa de Planck, en ella la expresión (6) vale 1 y por consiguiente tiene sentido considerarla como un embrión de universo, la absorción de posteriores paquetes de energía de valor media masa de Planck mantiene el valor de la expresión (6) con valor 1.  

     Naturalmente el desarrollo hasta ahora es elemental, pero muestra la estrategia de este nuevo punto de vista en el intento de introducir la gravitación en el formalismo de la mecánica cuántica. Un tratamiento formal riguroso podría dar lugar a una formulación cuántica completa de la gravedad.  

REFERENCIAS

[1] Marcelo A Crotti, Matter and vacuum. A new approach to the intimate structure of the universe, Kybernetes: The International Journal of Systems & Cybernetics Year: 2003 Volume: 32 Number: 7 Page: 1035 -- 1042