Knol steht während·planmäßiger·Wartungsarbeiten nicht zur Verfügung. Diese beginnen um Mon, 09 Nov 2009 18:30:00 GMT. Wir gehen davon aus, dass die Wartungsarbeiten um Mon, 09 Nov 2009 20:00:00 GMT abgeschlossen sein werden.
Version: Baidi441

Poisson-Verteilung

Simeon Poisson (1781 - 1840)

Die Poisson-Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die beim mehrmaligen Durchführen eines Bernoulli-Experiments entsteht.

Einführung

Die Poisson-Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die beim mehrmaligen Durchführen eines Bernoulli-Experiments (ein Zufallsexperiment das nur 2 mögliche Ergebnisse besitzt) entsteht. Nach n unabhängigen Wiederholungen eines Bernoulli-Experiments ergibt sich durch Summation der "Treffer", bei konstanter Wahrscheinlichkeit p, typischerweise eine Binomialverteilung. Für große n und kleine p fand Poisson eine überraschend gute Näherung für die Binomialverteilung (siehe unten). Binomial- und Poisson-Verteilung sind Spezialfälle der Panjer-Verteilung

Die Poisson-Verteilung eigent sich zur Modellierung von Zählvorgängen. Dabei werden bestimmte Ereignisse gezählt, die innerhalb eines festen, vorgegebenen Zeitintervalls eintreten können. Die mögliche Anzahl der Ereignisse ist nach oben hin nicht begrenzt (im Gegensatz zur Binomialverteilung, wo die maximale Anzahl der Ereignisse gleich n ist). Zugleich soll die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis in einem sehr kleinen Zeitintervall eintritt, ebenfalls sehr klein sein.

Definition

Eine Zufallsvariable X mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion




                        • e die Eulersche Zahl
                        • λ eine reelle positive Zahl
                        • k! die Fakultät von k (wie oft das Merkmal auftritt)
heißt Poisson-verteilt.

λ heißt auch Rate, Intensitätsrate oder Ereignisrate und ist gleichzeitig Erwartungswert und Varianz der Verteilung.

Annahmen für eine Poisson-Verteilung

  1. Zwei Ereignisse können nicht genau gleichzeitig auftreten.
  2. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis während eines kleinen Zeitintervalls der Läng t stattfindet ist annähernd λ*t. Wenn t klein genug ist, wird diese Wahrscheinlichkeit ebenfalls sehr klein. Die Poisson-Verteilung wird deshalb gelegentlich als Verteilung der seltenen Ereignisse bezeichnet.
  3. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten einer bestimmten Zahl von Ereignissen in einem Teilintervall hängt nur von dessen Länge l, aber nicht von seiner Lage auf der Zeitachse ab.
  4. Die Anzahlen von Ereignissen in zwei disjunkten (sich nicht überschneidenden) Teilintervallen sind unabhängig.
Gelten diese Annahmen, ist die Zufallsvariable X Poisson-verteilt.

Normalverteilungsapproximation

Je kleiner λ ist desto linkssteiler wird die Wahrscheinlichkeitsfunktion (siehe Abb.) und desto größer werden die Wahrscheinlichkeiten für kleine k-Werte. Für größere , etwa ab >9, wird die Verteilung annähernd symmetrisch und lässt sich durch eine Normalverteilungsdichte approximieren.

P_{\lambda}(X=k) \approx \frac {1}{\sqrt{2\pi\lambda}}\exp\left(-\frac{(k-\lambda)^2}{2\lambda}\right)


Approximation der Binomialverteilung durch die Poisson-Verteilung

Wie bereits erwähnt, lässt sich die Poisson-Verteilung auch als Grenzfall der Binomialverteilung ableiten. Sie ist die Grenzverteilung der Binomialverteilung bei sehr kleinen Anteilen der interessierten Merkmale und sehr großem Stichprobenumfang: n\rightarrow\infty (Stichprobenumfang) und p\rightarrow 0 (Wahrscheinlichkeit eines n für das Merkmal) unter der Nebenbedingung, dass das Produkt np = λ konstant ist.

Mit
 p=\frac{\lambda}{n}
ist der Wert einer Poisson-verteilten Zufallsvariable an der Stelle k der Grenzwert

\lim_{n\to\infty} P(X=k)

 =\lim_{n\to\infty}{n! \over (n-k)!\,k!} \left({\lambda \over n}\right)^k \left(1-{\lambda\over n}\right)^{n-k}

=\lim_{n\to\infty} \left({{(n-k+1)\cdots(n-2)(n-1)n}\over {n^k}}\right) \left({{\lambda}^k \over k!}\right)\left(1-{\lambda \over n}\right)^n \left(1-{\lambda \over n}\right)^{-k}

={\lambda^k \over k!}\cdot \lim_{n\to\infty} \begin{matrix} \\ \underbrace{\left({n \over n}\cdot {n-1 \over n}\cdot {n-2 \over n}\cdots {n-k+1 \over n}\right)} \\ {\to 1}\end{matrix} \begin{matrix} \\ \cdot \\ \quad\end{matrix} \begin{matrix} \\ \underbrace{\left(1-{\lambda \over n}\right)^n} \\ \to {\mathrm{e}^{-\lambda}}\end{matrix} \begin{matrix} \\ \underbrace{\left(1-{\lambda \over n}\right)^{-k}} \\ {\to 1} \end{matrix}

={\lambda^k \mathrm{e}^{-\lambda} \over k!}.

Verweise

  1. L. Fahrmeir, R. Künstler, I. Pigeot, G. Tutz. Statistik (6. Aufl.), Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2007. ISBN: 978-3-540-69713-8

Kommentare

Marcus Scholz
Marcus Scholz
Diplom-Pharmazeut bei Martin-Luther-Universitaet Halle-Wittenberg
Sachsen-Anhalt, Deutschland
Artikelbewertung:
Ihre Bewertung:

Aktivität dieses Knol-Artikels

Diese Woche:

46Seitenaufrufe

Summe:

1083Seitenaufrufe
©2009 Google